Met de boerenprotesten aan de orde van de dag herinner ik mij een vraag uit de onvolprezen NWO Wetenschapsquiz van 2018:
Vijf boeren moeten drie kavels land van elk 1 hectare groot eerlijk verdelen. Iedere boer krijgt dus 0,6 hectare land. Niemand vindt het een probleem als zijn grond uit meerdere stukken bestaat, mits elk stuk minstens 0,25 hectare groot is. Lukt het om de kavels onder deze voorwaarde te verdelen?
Ik kan je verklappen dat het inderdaad kan, maar hoe dan?
Hoeveel stukken?
Om dit verdeelprobleem op te lossen is de sleutelvraag: hoeveel stukken land krijgt iedere boer? Op het eerste gezicht is dit willekeurig, maar als je wat verder nadenkt kun je er veel meer over zeggen.
Stel dat er een boer is die 0,6 ha uit één stuk krijgt. Het resterende stuk van 0,4 ha kan niet worden opgedeeld in stukken groter dan 0,25 ha en moet voor een andere boer dus worden aangevuld met 0,2 ha. Dat is te klein en je weet dus dat iedere boer minstens twee stukken krijgt.
Stel dat er een boer is die minstens drie stukken krijgt. Dan is er minstens één stuk 0,2 ha of kleiner. Dat kan niet en dus krijgen alle boeren precies twee stukken land, dus in totaal 10 stukken land.
Hoe groot?
Hoe groot zijn dan die twee stukken? Je weet dat elk stuk 0,25 ha of groter is en, omdat het moet optellen tot 0,6 ha, moet het andere stuk kleiner of gelijk zijn aan 0,35 ha.
Kijken we nu naar de 1 ha stukken die we in 10 stukken moeten verdelen. Elk moet minimaal in twee delen en maximaal in vieren. Stel dat we 2-4-4 nemen. Dan krijg je een probleem met die 2, want je krijgt dat niet voor elkaar als ze beide in het interval [0,25;0,35] moeten liggen. Je weet dus dat je 3-3-4 moet nemen.
Die vier kan alleen in vier gelijke stukken van 0,25 ha. Dus je weet dat die moeten worden aangevuld met vier stukken van 0,35 ha. Dan is het al snel duidelijk dat de enige mogelijkheid is om de twee andere stukken te verdelen in twee van 0,35 en één van 0,3 ha.
Dit is dus de (enige) oplossing:
Conclusie
Ik vind het verwonderlijk hoe je een schijnbaar zeer complex verdeelprobleem door slechts logisch redeneren in een paar stappen kunt oplossen. Ik denk dat het boeren stikstofprobleem van Nederland iets minder makkelijk oplosbaar is.