Stel je hebt een cirkelvormige biljarttafel. Twee ballen worden tegelijk afgestoten van punt A respectievelijk B. Ze botsen in C op elkaar en vervolgen hun weg in lijn met de andere bal, zodat zowel AE als BD recht zijn. Dan raken ze de band om tenslotte in hun startpunten uit te komen. We nemen aan dat de ballen gedurende het hele traject met constante maar mogelijkerwijs verschillende snelheden rollen. De vraag is: welke bal zal er het eerst zijn?
Het wiskundige antwoord
Geometrisch zijn de banen twee driehoeken. In onderstaande figuur zijn hun hoeken aangegeven. Gebruik makend van het feit dat in een cirkel hoeken vanuit gelijke koorden naar elk punt op de cirkel aan elkaar gelijk zijn, zien we dat de twee driehoeken ACD en BCE gelijkvormig zijn.
De snelheden van de twee ballen zijn dusdanig dat ze AC en BC in dezelfde tijd afleggen. Maar vanwege de gelijkvormigheid en de constante snelheden zullen ze ook de trajecten CD en CE in dezelfde tijd afleggen en dus gelijk bij de band aankomen. Idemdito voor het laatste stuk. Derhalve zullen de ballen precies gelijktijdig in hun startpunt aankomen.
Natuurkundige kanttekeningen
Zijn deze banen nu fysisch mogelijk? De ballen verliezen natuurlijk energie en zullen dus vertragen. Maar als we weerstand even achterwege laten, kan het dan?
Nemen we aan dat de botsing bij C volledig elastisch is, dan blijkt uit impulsbehoud dat de banen alleen in elkaars verlengde liggen als |AC|/|BC|=mB/mA. Dit zal in het algemeen niet zo zijn.
Ook de botsingen met de band zijn problematisch. Daar heb je dat de hoek van inval gelijk moet zijn aan de hoek van uitval, hetgeen in het plaatje overduidelijk niet het geval is.
Kortom, de getekende banen zijn hypothetisch en in de fysieke wereld zullen ze er anders uitzien met ook een andere aankomsttijd tot gevolg.